Question

本題12分）
已知函數(shù).
(1)求的定義域；
(2)在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于x軸；
(3)當(dāng)，b滿(mǎn)足什么條件時(shí)，在上恒取正值.

Answer 1

(1) (0，＋∞).(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于x軸.
(3)當(dāng)a≥b＋1時(shí)， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.

試題分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零求解．
（2）當(dāng)函數(shù)在定義域上單調(diào)時(shí)，則不存在，當(dāng)函數(shù)在定義域上不單調(diào)時(shí)，則存在，所以要證明函數(shù)是否單調(diào)，可用定義法，也可用導(dǎo)數(shù)法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數(shù)的最小值非負(fù)即可，由（2）可知是增函數(shù)，所以只要f（1）≥0即可．
解　：(1)由a^x－b^x>0，
得()^x>1，且a>1>b>0，得>1，
所以x>0，即f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).
(2)任取x₁>x₂>0，a>1>b>0，則ax₁>ax₂>0，bx₁<bx₂，所以ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0，
即lg(a^x1－b^x1)>lg(a^x2－b^x2).  故f(x₁)>f(x₂).
所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù).
假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使直線(xiàn)平行于x軸，        則x₁≠x₂，y₁＝y(tǒng)₂，這與f(x)是增函數(shù)矛盾.
故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于x軸.
(3)因?yàn)閒(x)是增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>f(1).  這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，
即當(dāng)a≥b＋1時(shí)，   f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)表示切線(xiàn)的斜率，同時(shí)能利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零得到定義域進(jìn)而研究其性質(zhì)。