Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和；且Sn = 2 an -2（n∈N*）；

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且bn= （n∈N*）；

求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn ＜2；

（3）在正數(shù)數(shù)列{cn}中，設(shè) (cn) n+1 = an+1（n∈N*）；求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)。

 

Answer 1

【答案】

（1）因?yàn)镾n=2an-2（n∈N*），所以Sn-1=2an-1-2（n≥2，n∈N*）。

二式相減得：an=2 an-2an-1（n≥2，n∈N*），

因?yàn)閍n≠0，所以=2（n≥2，n∈N*），

即數(shù)列{ an}是等比數(shù)列，

又因?yàn)閍1=S1，所以a1=2 a1-2，即a1=2，所以an=2n（n∈N*）（4分）

（2）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有bn==，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=++……+≤1+++……+=1+1-+-+……+-=2-＜2；

當(dāng)n=1時(shí)，T1=1＜2仍成立；

所以，對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn ＜2。（8分）

（3）解：由(cn)n+1=an+1=n+1（n∈N*）

知：lncn=。令f（x）=，

則f′（x）=，因?yàn)樵趨^(qū)間（0，e）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（e，+∞）上，f′（x）＜0，

所以在區(qū)間（e，+∞）上f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，所以n≥3且n∈N*時(shí)，{lncn}是遞減數(shù)列，

又lnc1＜ lnc2  lnc3＜ lnc2，

所以，數(shù)列{lncn}中的最大項(xiàng)為lnc2=ln3，所以{cn}中的最大項(xiàng)為c2=。（12分）

 

【解析】略