Question

【題目】如圖，在直二面角D﹣AB﹣E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，點F在CE上，且BF⊥平面ACE；
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；
（3）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，

∵二面角D﹣AB﹣E為直二面角，

∴平面ABCD⊥平面ABE，

又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，則BC⊥AE，

又BF平面BCE，BF∩BC=B，

∴AE⊥平面BCE

（2）法一、解：連接AC、BD交于G，連接FG，

∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，

∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，∴AC⊥平面BFG，

∴FG⊥AC，即∠FGB為二面角B﹣AC﹣E的平面角，

由（1）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，

又AE=EB，AB=2，AE=BE= ，

在直角三角形BCE中，CE= = ，BF= = ，

在正方形中，BG= ，在直角三角形BFG中，sin∠FGB= ；

法二、以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，

過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖．

∵AE⊥面BCE，BE面BCE，∴AE⊥BE，

在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，

∴OE=1．∴A（0，﹣1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），

=（1，1，0）， =（0，2，2）．

設平面AEC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x=1，得 =（1，﹣1，1）是平面AEC的一個法向量．

又平面BAC的一個法向量為 =（1，0，0），

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值為

（3）法一、由（2）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離，

BF⊥平面ACE，線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為 ．

法二、

解：∵AD∥z軸，AD=2，∴ =（0，0，2），

∴點D到平面ACE的距離d=| ||cos＜ ＞= = ．

【解析】（1）要證AE⊥平面BCE，只需證明AE垂直平面BCE內的兩條相交直線BF、BC即可；（2）連接AC、BD交于G，連接FG，說明∠FGB為二面角B﹣AC﹣E的平面角，然后求二面角B﹣AC﹣E的大小；（3）利用VD﹣ACE=VE﹣ACD ， 求點D到平面ACE的距離，也可以利用空間直角坐標系，向量的數量積，證明垂直，求出向量的模．