Question

【題目】已知橢圓（）的離心率是，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）記橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)（）在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)．問： 軸上是否存在點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】試題分析：

(1)由題意求得則橢圓的方程為；

(2)很明顯直線的斜率存在，利用弦長公式得到關(guān)于斜率k的方程，解方程可得的方程為．

(3) 假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得，原問題等價(jià)于滿足，據(jù)此整理計(jì)算可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

試題解析：

解：（1）由已知，點(diǎn)在橢圓上，

因此解得

所以橢圓的方程為．　

（2）依題意，直線的斜率必存在，設(shè)的方程為， ， ，

則 ，

故， ，

∴ ，

整理得，即，

∴的方程為．

（3）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得，

“存在點(diǎn)使得”等價(jià)于“存在點(diǎn)使得”

即滿足，

因?yàn)?/span>，所以，

直線的方程為，

所以，即，

因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以．

同理可得，

因?yàn)?/span>， ， ，

所以，

所以或，

故在軸上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．