Question

已知定點，B是圓（C為圓心）上的動點，AB的垂直平分線與BC交于點E．
（1）求動點E的軌跡方程；
（2）設直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與E的軌跡交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據|EA|=|EB|可判斷出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|進而根據橢圓的定義可知點E的軌跡是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，E的軌跡方程可得．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x，y）將直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0求得k與m的不等式關系；同時根據AB的垂直平分線與BC，可分別表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得k和m的關系式，進而可求得k的范圍．設O到直線l的距離為d，根據三角形面積公式可得△OPQ的面積的表達式，根據k的范圍確定△OPQ的面積的最大值．求出此時的k和m，所求的直線方程可得．
解答：解：（1）由題知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵∴點E的軌跡是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，
∴E的軌跡方程為
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x，y）
將直線y=kx+m與
聯立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0△=16（4k²+1-m²）＞0，即4k²+1＞m²①
又
依題意有，
整理得3km=4k²+1②
由①②可得，∵m＞0，∴k＞0，∴
設O到直線l的距離為d，則
=
當時，△OPQ的面積取最大值1，
此時，∴直線方程為
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的關系，考查了學生對圓錐曲線綜合知識的把握．