Question

已知a≥0,函數f(x)=(x²-2ax)e^x.

(1)當x為何值時,f(x)取得最小值?證明你的結論.

(2)設f(x)在［-1,1］上是單調函數,求a的取值范圍.

Answer 1

分析:(1)最值點應在導數值為0的點或區間的端點處取得,故需求導數為零的點.(2)f(x)在［-1,1］上是單調增函數,需f′(x)在［-1,1］上非負.

解：(1)對函數f(x)求導數,得

f′(x)=(x²-2ax)e^x+(2x-2a)e^x

=［x²+2(1-a)x-2a］e^x.

    令f′(x)=0,得［x²+2(1-a)x-2a］e^x=0,

    從而x²+2(1-a)x-2a=0.

    解得x₁=a-1-,x₂=a-1+,其中x₁＜x₂.

    當x變化時,f′(x)、f(x)的變化如下表:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f(x)在x=x₁處取到極大值,在x=x₂處取到極小值.

    當a≥0時,x₁＜-1,x₂≥0,f(x)在(x₁,x₂)上為減函數,在(x₂,+∞)上為增函數.

    而當x＜0時,f(x)=x(x-2a)e^x＞0;當x=0時,f(x)=0.所以當x=a-1+時,f(x)取得最小值.

(2)當a≥0時,f(x)在［-1,1］上為單調函數的充要條件是x₂≥1,即a-1+≥1,解得a≥.

    綜上,f(x)在［-1,1］上為單調函數的充分必要條件為a≥.

    即a的取值范圍是［,+∞).