Question

設A、B分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右頂點，雙曲線的實軸長為4

3

，焦點到漸近線的距離為

3

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=

3

3

x-2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使

OM

+

ON

=t

OD

，求t的值及點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）由實軸長可得a值，由焦點到漸進線的距離可得b，c的方程，再由a，b，c間的平方關系即可求得b；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x₀，y₀），則x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，則x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，聯立直線方程與雙曲線方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理可得x₁+x₂，進而求得y₁+y₂，從而可得

x0

y0

，再由點D在雙曲線上得一方程，聯立方程組即可求得D點坐標，從而求得t值；

解答：解：（1）由實軸長為4

3

，得a=2

3

，
漸近線方程為y=

b

2 3

x，即bx-2

3

y=0，
∵焦點到漸近線的距離為

3

，
∴

|bc|

b2+12

=

3

，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴雙曲線方程為：

x2

12

-

y2

3

=1；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x₀，y₀），則x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，
由

y= 3 3 x-2 x2 12 - y2 3 =1

⇒x2-16

3

x+84=0⇒x1+x2=16

3

，
∴y₁+y₂=

3

3

(x1+x2)-4=12，
∴

x0 y0 = 4 3 3 x02 12 - y02 3 =1

，解得

x0=4 3 y0=3

，∴t=4，
∴D(4

3

，3)，t=4．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、雙曲線標準方程的求解，考查向量的線性運算，考查學生分析問題解決問題的能力．