Question

設A、B分別為雙曲線的左右頂點，雙曲線的實軸長為，焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由實軸長可得a值，由焦點到漸進線的距離可得b，c的方程，再由a，b，c間的平方關系即可求得b；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x，y），則x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，則x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，聯立直線方程與雙曲線方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理可得x₁+x₂，進而求得y₁+y₂，從而可得，再由點D在雙曲線上得一方程，聯立方程組即可求得D點坐標，從而求得t值；
解答：解：（1）由實軸長為，得，
漸近線方程為x，即bx-2y=0，
∵焦點到漸近線的距離為，
∴，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴雙曲線方程為：；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x，y），則x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，
由，
∴y₁+y₂=-4=12，
∴，解得，∴t=4，
∴，t=4．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、雙曲線標準方程的求解，考查向量的線性運算，考查學生分析問題解決問題的能力．