Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為.

（1） 求橢圓的方程;

（2） 設直線與橢圓交于、兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：可以巧用離心率，不妨設，由短軸的一個端點到右焦點的距離為，，則，所以橢圓C的方程為，第二步先設直線的方程為，聯立方程組消去后得關于的一元二次方程，寫出，寫出弦長的表達式，又坐標原點O到Ｌ的距離的，得到一個和的等量關系，代入面積表達式后，借助均值不等式求出最大值即可.

試題解析：解：（1）設橢圓的半焦距為，依題意

，

所求橢圓方程為．

（2）設，．

①當軸時，為，代入．

得，

②當與軸不垂直時，設直線的方程為．

由已知，得

把代入橢圓方程，整理得，

，，．

當時，，

當時，

當且僅當，即時等號成立．

綜上所述．

當最大時，面積取最大值．