Question

已知數列a₁=1，a₂=2，an+2=

5an+1-3an，an•an+1為偶數時 an+1-an，an•an+1為奇數時

．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）證明：任意相鄰三項不可能有兩個偶數；
（3）若an=2n-1(n∈N+)，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據a₁=1，a₂=2，及數列遞推式可求a₃，a₄的值；
（2）假設a_n，a_n+1，a_n+2中存在兩項為偶數，不妨設a_n，a_n+1為偶數，由已知3a_n-1=5a_n-a_n+1或a_n-1=a_n-a_n+1，得a_n-1必為偶數，以此類推，可得a₁為偶數；同理若有不相鄰兩項為偶數，可得a₁為偶數，與已知條件矛盾；
（3）由n=1，2顯然滿足題意，再證：n≥3時，無滿足題意的n即可．

解答：（1）解：∵a₁=1，a₂=2，∴a₃=5a₂-3a₁=7，a₄=5a₃-3a₂=29…（2分）
（2）證明：假設a_n，a_n+1，a_n+2中存在兩項為偶數，若有相鄰兩項為偶數，不妨設a_n，a_n+1為偶數，
由已知3a_n-1=5a_n-a_n+1或a_n-1=a_n-a_n+1，得a_n-1必為偶數，
以此類推，可得a₁為偶數，與已知條件矛盾，…（5分）
若有不相鄰兩項為偶數，不妨設a_n，a_n+2為偶數，由已知5a_n+1=3a_n+a_n+2或a_n+1=a_n+a_n+2得a_n+1必為偶數，
以此類推，可得a₁為偶數，與已知條件矛盾，
故，任意相鄰三項不可能有兩個偶數…（8分）
（3）解：由n=1，2顯然滿足題意，…（10分）
下證：n≥3時，無滿足題意的n，
設使得a_n是4的倍數的最小下標為m，則由（1）知m＞4，
由于a_m是偶數，由（2）知a_m-1，a_m-2為奇數，…（12分）
再由已知條件知a_m-3為偶數…（13分）
又a_m-1=5a_m-2+a_m-3或a_m=a_m-1+a_n-2得3a_m-3=4a_m-2-a_m，
從而a_m-3也為4的倍數，與假設矛盾，…（15分）
綜上所述，當n≥3時，無滿足題意的n使得an=2n-1，
故n=1，2，…（16分）

點評：本題考查數列遞推式，考查學生分析解決問題的能力，考查反證法思想的運用，屬于中檔題．