Question

（2013•溫州一模）設A（1，-1），B（0，1），若直線ax+by=1與線AB（包括端點）有公共點，則a²+b²的最小值為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：由題意得：點A（1，-1），B（0，1）在直線ax+by=1的兩側，那么把這兩個點代入ax+by-1，乘積小于等于0，即可得出關于a，b的不等關系，畫出此不等關系表示的平面區域，結合線性規劃思想求出a²+b²的取值范圍．

解答：解：∵直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，
∴點A（1，-1），B（0，1）在直線ax+by=1的兩側，
∴（a-b-1）（b-1）≤0，

a-b-1≤0 b-1≥0

或

a-b-1≥0 b-1≤0

畫出它們表示的平面區域，如圖所示．
a²+b²表示原點到區域內的點的距離的平方，
由圖可知，當原點O到直線a-b-1=0的距離為原點到區域內的點的距離的最小值，
∵d=

|-1|

2

=

2

2

，
那么a²+b²的最小值為

1

2

故選C

點評：本題考查二元一次不等式組與平面區域問題、函數的最值及其幾何意義，是基礎題．準確把握點與直線的位置關系，找到圖中的“界”，是解決此類問題的關鍵．