Question

設拋物線y²=2px（p為常數）的準線與X軸交于點K，過K的直線l與拋物線交于A、B兩點，則

OA

•

OB

=

5

4

p2

．

Answer 1

分析：設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設直線l：my=x+

p

2

．聯立

my=x+ p 2 y2=2px

化為y²-2pmy+p²=0．由于直線l與拋物線相交于不同兩點，得到△＞0，化為m²＞1．利用根與系數的關系y₁+y₂=2pm，y1y2=p2．再利用數量積運算可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(my1-

p

2

)(my2-

p

2

)+y₁y₂，代入即可．

解答：解：如圖所示，
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設直線l：my=x+

p

2

．
聯立

my=x+ p 2 y2=2px

化為y²-2pmy+p²=0．
∵直線l與拋物線相交于不同兩點，∴△＞0，化為m²＞1．
∴y₁+y₂=2pm，y1y2=p2．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(my1-

p

2

)(my2-

p

2

)+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-

pm

2

(y1+y2)+

p2

4

=(m2+1)•p2-

pm

2

•2pm+

p2

4

=

5

4

p2．
故答案為

5

4

p2．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化方程聯立得到關于一個未知數的一元二次方程得根與系數的關系、數量積得運算法則等是解題的關鍵．