Question

如圖，已知矩形ABCD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，且AM=AB，將矩形沿MN折成直二面角，若P點(diǎn)是線段DN上一動(dòng)點(diǎn)，求P到BM距離的最小值。

Answer 1

當(dāng)點(diǎn)P位于距N點(diǎn)處時(shí)，P點(diǎn)到BM的距離取得最小值，這個(gè)最小值為.

 如圖,過(guò)P點(diǎn)作PE⊥MN，垂足為E，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BM于F點(diǎn)，連結(jié)PF。
由題意可知平面CDMN⊥平面ABMN，∴PE⊥平面ABMN∴PF在平面ABMN中的射影為EF，由三垂線定理知PF⊥BM，即PF的長(zhǎng)為P到BM的距離。
設(shè)AM=AB=，PN=，則∵四邊形ABNM是正方形∴,
在Rt△EFM中
在Rt△EFP中，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，即當(dāng)點(diǎn)P位于距N點(diǎn)處時(shí)，P點(diǎn)到BM的距離取得最小值，這個(gè)最小值為.