Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數有唯一零點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)時,求出導函數,求出,將代入到中得到曲線在點處的切線的斜率,求出,然后利用點斜式求出曲線在點處的切線方程.

（Ⅱ）先利用導數證明函數在R上有唯一零點,且函數在上遞,在上遞增,所以函數 在 處取得最小值,再根據函數有唯一零點可得,然后根據以及聯立消去,得到,然后構造函數,通過導數的方法可得有唯一零點,且,最后將代入到可以解得的值.

（Ⅰ）當時，.

.

.

又，

曲線在點處的切線方程為，即.

（Ⅱ）.

令，則.

，函數在僅有一個零點.

存在，使得.

即存在滿足時，.

當，即時，.

在上單調遞減；

當，即時，.

在上單調遞增.

又當時，，，；

當時，，.

當時，，當時，.

由題意，函數有唯一零點時，必有.①

又，②

由①②消去，得.

令.，單調遞增.

又，

方程有唯一解.

將代入，解得.

當函數有唯一零點時，的值為.