Question

已知下列命題：
①若，則按平移后的坐標為（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，則；
③周長為的直角三角形面積的最大值為；
④在△ABC中，若，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的序號是（將所有正確的序號全填在橫線上）    ．

Answer 1

【答案】分析：①據向量的可平移性得到平移后的向量的坐標，
②連接AM并延長交BC與點D，則D為BC的中點，且AM=BC，利用三角形法則用向量 和 表示即可．
③因為L=a+b+c，c=，兩次運用均值不等式即可求解；或者利用三角代換，轉化為三角函數求最值問題．
④利用正弦定理，求出sinA=sinB=sinC，推出△ABC是等邊三角形．
解答：解：①∵
∵向量是可平移的，平移后只改變起點、中的位置，不改變向量的坐標
∴平移后的坐標為（3，4），故錯；
②連接AM并延長交BC與點D，則D為BC的中點，且AM=BC，
由三角形法則 ===
=
故正確；
③直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，周長L為，面積為s，
a+b+=L≥2 +．
∴≤．
∴S=ab≤（ ）²
=•[]²=L²=．故正確；
④∵由正弦定理 ==，得sinA=sinB=sinC，
∴A=B=C⇒a=b=c，則△ABC是等邊三角形，正確．
故答案為：②③④．
點評：本題考查向量的性質：向量是可以平移的，平移后與原向量相等；考查向量的三角形法則、平面向量基本定理和向量的表示；考查利用均值不等式解決實際；考查三角函數與正弦定理的應用，考查計算能力邏輯推理能力，常考題型．