Question

【題目】已知函數有兩個零點，且

（1）求的取值范圍；

（2）證明：隨著的增大而減小；

（3）證明：隨著的增大而減小.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導后，對分類討論，利用導數研究單調性，根據單調性求出最大值，利用“函數有兩個零點”等價于①；②存在，滿足是；③存在，滿足.再逐個加以驗證即可得到答案；

（2）由，有，構造函數，利用導數進行研究可證結論；

（3）由，設，可得，構造函數，利用導數可得單調遞增，結合（1）（2）的結論可證.

（1）的定義城為，由.

下面分兩種情況討論：

（ⅰ）時，在上恒成立，可得在上單調遞增，不合題意.

（ⅱ）時，由，得.

當變化時，、的變化情況如下表：

		0
	遞增		遞減

這時，的單調遞增區間是；單調遞減區間是.

于是，“函數有兩個零點”等價于如下條件同時成立：

①；②存在，滿足是；③存在，滿足.

由，解得.

而此時，取，滿足，且；

取，滿足，且，

令，，

因為，所以在上為遞減函數，

所以，即，

故的取值范圍是.

（2）證明：由，有，

設，由知在上單調遞增，在上單調遞減.

并且，當時，；當時，.

由已知，，滿足.

由及的單調性，可得，.

對于任意的、，設，

﹐其中；，其中.

因為在上單調遞增，所以由，即，可得.類似可得.

又由，，得，

所以隨著的減小而增大.

（3）證明：由，

設，則，且

所.①

令，，則.

令，得.

當時，.因此，在上單調遞增，

故對于任意的，，由此可得，故在上單調遞增.

因此，由①可得隨著的增大而增大.而由（2），隨著的減小而增大，所以隨著的增大而減小.而隨著的增大而增大，因此隨著的增大而減小.