Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1 : 3．設A，B是橢圓C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范圍．

Answer 1

(1)
(2)的取值范圍為[，）．

解析試題分析：(Ⅰ) 設F₂(c，0)，則
＝，
所以c＝1．
因為離心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．                  5分

(Ⅱ) 當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)
．
當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由  得
(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，
則－1＋4mk＝0，
故k＝．
此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為
．
即  ．
聯立 消去y，整理得
．
所以，．
于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂



．
令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則
．
又1＜t＜29，所以
．
綜上，的取值范圍為[，）．     13分
考點：橢圓的性質以及直線于橢圓的位置關系
點評：解決的關鍵是根據橢圓的幾何性質來得到其方程，然后結合聯立方程組來得到向量的坐標關系式，進而通過向量的數量積來得到結論，屬于中檔題。