Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知且成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足求證：

Answer 1

【答案】(1) (2) 數(shù)列的前n項(xiàng)和為 (3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由條件可得，，即，兩式聯(lián)立可得：，或，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件.

(2)設(shè),可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分情況求和即可.
(3) 由（1）有，由有，則則或,若則不等式顯然成立. 若,則，由裂項(xiàng)相消法求和可證明.

(1)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，

由有，即…… ①

由成等比數(shù)列，有，即……②

將①代入②得：

即解得：，或.

當(dāng)時(shí)，與題目矛盾，舍去.

當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足條件，此時(shí)

(2)設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，即

當(dāng)時(shí)，，即

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為

所以當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為

(3)由（1）有

由有，所以

則或

若則不等式顯然成立.

若，

則

即所以

則

綜上所以成立.