Question

【題目】已知函數(shù).證明：

（1）存在唯一的極值點(diǎn)；

（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進(jìn)而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明出結(jié)論成立；

（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說(shuō)明結(jié)論成立.

（1）由題意可得，的定義域?yàn)?/span>，

由，

得，

顯然單調(diào)遞增；

又，，

故存在唯一，使得；

又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

因此，存在唯一的極值點(diǎn)；

（2）由（1）知，，又，

所以在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作.

由得，

又，

故是方程在內(nèi)的唯一實(shí)根；

綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).