Question

一學(xué)生參加某高校的自主招生考試，須依次參加A、B、C、D、E五項(xiàng)考試，如果前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)不合格或第五項(xiàng)不合格，則該考生就被淘汰，考試即結(jié)束；考生未被淘汰時(shí)，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項(xiàng)測(cè)試都是相互獨(dú)立的，該生參加A、B、C、D四項(xiàng)考試不合格的概率均為

1

3

，參加第五項(xiàng)不合格的概率為

1

4

．
（1）求該生被錄取的概率．
（2）記該生參加考試的項(xiàng)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）該生被錄取，則必須答對(duì)前四項(xiàng)中的三項(xiàng)和第五項(xiàng)或者答對(duì)所有的項(xiàng)．
（2）分析此問(wèn)題時(shí)要注意有順序，所以ξ的所有取值為：2，3，4，5．

解答：解：（1）該生被錄取，則A、B、C、D四項(xiàng)考試答對(duì)3道或4道，并且答對(duì)第五項(xiàng)．
所以該生被錄取的概率為P=

3

4

[(

2

3

)4+

C

3 4

(

2

3

)3•

1

3

]=

4

9

（2）該生參加考試的項(xiàng)數(shù)ξ的所有取值為：2，3，4，5．
P(ξ=2)=

1

3

×

1

3

=

1

9

；P(ξ=3)=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

=

4

27

；P(ξ=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

；P(ξ=5)=1-

1

9

-

4

27

-

4

27

=

16

27

．
該生參加考試的項(xiàng)數(shù)ξ的分布列為：
Eξ=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

7

+5×

16

27

=

114

27

=

38

9

點(diǎn)評(píng)：此題把二項(xiàng)分布和回合制問(wèn)題有機(jī)的結(jié)合在一起，增加了試題的難度．解決此問(wèn)題應(yīng)注意順序．