Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．
（1）當 時，求函數f（x）的最小值；
（2）若﹣1≤a≤0，證明：函數f（x）有且只有一個零點；
（3）若函數f（x）有兩個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， ．

所以 ，（x＞0）．

令f'（x）=0，得x=2，

當x∈（0，2）時，f'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，

所以函數f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增．

所以當x=2時，f（x）有最小值

（2）解：由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．

所以當a≤0時， ，

函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點

因為當﹣1≤a≤0時，f（1）=a﹣1＜0， ，

所以當﹣1≤a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上有零點．

綜上，當﹣1≤a≤0時，函數f（x）有且只有一個零點

（3）解：由（2）知，當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點．

因為函數f（x）有兩個零點，所以a＞0．

由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．

因為g（0）=﹣1＜0，2a＞0，

所以函數g（x）在（0，+∞）上只有一個零點，設為x0．

當x∈（0，x0）時，g（x）＜0，f'（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0，f'（x）＞0．

所以函數f（x）在（0，x0）上單調遞減；在（x0，+∞）上單調遞增．

要使得函數f（x）在（0，+∞）上有兩個零點，

只需要函數f（x）的極小值f（x0）＜0，即 ．

又因為 ，所以2lnx0+x0﹣1＞0，

又因為函數h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數，且h（1）=0，

所以x0＞1，得 ．

又由 ，得 ，

所以0＜a＜1． …13分

以下驗證當0＜a＜1時，函數f（x）有兩個零點．

當0＜a＜1時， ，

所以 ．

因為 ，且f（x0）＜0．

所以函數f（x）在 上有一個零點．

又因為 （因為lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．

所以函數f（x）在 上有一個零點．

所以當0＜a＜1時，函數f（x）在 內有兩個零點．

綜上，實數a的取值范圍為（0，1）．

下面證明：lnx≤x﹣1．

設t（x）=x﹣1﹣lnx，所以 ，（x＞0）．

令t'（x）=0，得x=1．

當x∈（0，1）時，t'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，t'（x）＞0．

所以函數t（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

所以當x=1時，t（x）有最小值t（1）=0．

所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立

【解析】（1）當 時， ．求出函數的導數，得到極值點，然后判斷單調性求解函數的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點，當﹣1≤a≤0時，f（1）=a﹣1＜0， ，推出結果．（3）由（2）知，當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點．說明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，說明函數f（x）在（0，x0）上單調遞減；在（x0 ， +∞）上單調遞增． 要使得函數f（x）在（0，+∞）上有兩個零點，只需要 ．通過函數h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數，推出0＜a＜1．驗證當0＜a＜1時，函數f（x）有兩個零點．證明：lnx≤x﹣1．
設t（x）=x﹣1﹣lnx，利用導數求解函數的最值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．