Question

【題目】若兩條異面直線所成的角為90°，則稱這對異面直線為“理想異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“理想異面直線對”的對數為（ ）
A.24
B.48
C.72
D.78

Answer 1

【答案】D
【解析】解答：先把連接正方體各頂點的所有直線有三種形式． 分別是正方體的棱，有12條，各面對角線，有12條，體對角線，有4條．
分幾種情況考慮
第一種，各棱之間構成的“理想異面直線對”，每條棱有4條棱和它垂直，∴共有 =24對
第二種，各面上的對角線之間構成的“理想異面直線對”，每相對兩面上有2對互相垂直的異面對角線，∴共有 =6對
第三種，各棱與面上的對角線之間構成的“理想異面直線對”，每條棱有2條面上的對角線和它垂直，共有2×12=24對
第四種，各體對角線與面上的對角線之間構成的“理想異面直線對”，每條體對角線有6條面上的對角線和它垂直，共有6×4=24對
最后，把各種情況得到的結果相加，得，24+6+24+24=78對
故選D
分析：可把連接正方體各頂點的所有直線分成3組，棱，面上的對角線，體對角線，分別組合，找出可能的”理想異面直線對”，再相加即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線的判定的相關知識，掌握過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）．