Question

【題目】如圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過AB的中點(diǎn)O作平面α與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN與α交于點(diǎn)P，求證：P是MN的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】證明：連接AN，交平面α于點(diǎn)Q，連接PQ．
∵b∥α，b平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O為AB的中點(diǎn)，
∴Q為AN的中點(diǎn)．∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P為MN的中點(diǎn)．

【解析】先連接AN，交平面α于點(diǎn)Q，連接PQ，由于b∥α，b平面ABN，平面ABN∩α=OQ，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知b∥OQ，同理可證得a∥PQ，從而確定點(diǎn)P的位置．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．