Question

【題目】若函數f（x）滿足：在定義域D內存在實數x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數f（x）為“1的飽和函數”．給出下列四個函數：①f（x）= ；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cos（πx）．其中是“1的飽和函數”的所有函數的序號為（ ）
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：對于①，若存在實數x0 ， 滿足f（x0+1）=f（x0）+f（1）， 則 ，所以 ，
該方程無實根，因此①不是“1的飽和函數”；
對于②，若存在實數x0 ， 滿足f（x0+1）=f（x0）+f（1），
則 ，解得x0=1，因此②是“1的飽和函數”；
對于③，若存在實數x0 ， 滿足f（x0+1）=f（x0）+f（1），
則 ，
化簡得 =0，該方程無實根，因此③不是“1的飽和函數”；
對于④，注意到 ，f（ ）+f（1）= ，
即f（ +1）=f（ ）+f（1），
因此是“1的飽和函數”，
綜上可知，其中是“1的飽和函數”的所有函數的序號是②④．
故選：B．
【考點精析】通過靈活運用函數的值，掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法即可以解答此題．