Question

【題目】設f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）．
（1）解關于x的不等式f（x）≥0；
（2）若a＞0，當﹣1≤x≤1時，f（x）≤0時恒成立，求a的取值范圍．
（3）若當﹣1＜a＜1時，f（x）＞0時恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式f（x）≥0可得，（ax﹣2）（x+1）≥0．

當a=0時，不等式可化為﹣2（x+1）≥0，解得x≤﹣1；

當a≠0時，方程（ax﹣2）（x+1）=0有兩根 ．

若a＜﹣2， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

若a=﹣2，不等式可化為﹣2（x+1）2≥0，解得x=﹣1；

若﹣2＜a＜0， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

若a＞0， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

綜上所述，當a=0時，不等式的解集為{x|x≤﹣1}；當a＜﹣2時，不等式的解集為 ；當a=﹣2時，不等式的解集為{﹣1}；當﹣2＜a＜0時，不等式的解集為 ；當a＞0時，不等式的解集為 ．

（2）解：因a＞0，f（x）≤0故函數f（x）開口向上，根據二次函數的特征，若要﹣1≤x≤1時，f（x）≤0時恒成立，只需 即可．

因此，由 ，

解得0＜a≤2．

所以，a的取值范圍為（0，2]．

（3）解：若當﹣1＜a＜1時，設g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1）

因此，當﹣1＜a＜1時，f（x）＞0時恒成立等價于當﹣1＜a＜1時，g（a）＞0恒成立．

當x=0時，g（a）=﹣2＜0，不符合題意；

當x=﹣1時，g（a）=0，不符合題意；

當x≠0，x≠﹣1時，只需 成立即可

即 ，解得﹣2≤x≤﹣1．

所以，x的取值范圍為[﹣2，﹣1）

【解析】（I）根據a=0和a≠0以及根的大小討論求解．（II）a＞0，當﹣1≤x≤1時，利用二次方程根的分布，可求a的取值范圍．（III）當﹣1＜a＜1時，設g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成關于a的一次函數求x的取值范圍．