Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）求線段PQ的長；
（3）求PQ與平面AA₁D₁D所成的角．

Answer 1

（1）證明：如圖，
連接A₁C₁，DC₁，則Q為A₁C₁的中點，
∴PQ∥DC₁，且PQ=

1

2

DC₁，
∴PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴DC1=

2

，
∴PQ=

1

2

DC₁=

2

2

；
（3）∵PQ∥DC₁，∴PQ、DC₁與平面AA₁D₁D所成的角相等，
∵DC₁與平面AA₁D₁D所成的角為∠C₁DD₁=45°，
∴PQ與平面AA₁D₁D所成的角為45°．