Question

已知函數f（x）=．
（1）當a=b=1時，求滿足f（x）≥3^x的x的取值范圍；
（2）若y=f（x）的定義域為R，又是奇函數，求y=f（x）的解析式，判斷其在R上的單調性并加以證明．

Answer 1

解：（1）由題意，≥3^x，化簡得3•（3^x）²+2×3^x-1≤0…（2分）
解得-1≤3^x≤…（4分）
所以x≤-1…（（6分），如果是其它答案得5分）
（2）已知定義域為R，所以f（0）==0?a=1，…（7分）
又f（1）+f（-1）=0?b=3，…（8分）
所以f（x）=；…（9分）
f（x）==（）=（-1+）
對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
可知f（x₁）-f（x₂）=（-）=-（）…（12分）
因為x₁＜x₂，所以-＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上遞減．…（14分）
分析：（1）由題意可得≥3^x從中解得-1≤3^x≤，解此指數不等式即可求得x的取值范圍；
（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（-1）=0可求得b，從而可得y=f（x）的解析式；利用單調性的定義，對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂），最后判斷符號即可．
點評：本題考查指數不等式的解法，考查函數奇偶性的應用，考查函數單調性的判斷與證明，屬于綜合題，難度大，運算量大，屬于難題．