Question

【題目】設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）滿足條件：①當x∈R時，f（x）的最大值為0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函數f（x）的圖象與直線y=﹣2交于A、B兩點，且|AB|=4
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求最小的實數n（n＜﹣1），使得存在實數t，只要當x∈[n，﹣1]時，就有f（x+t）≥2x成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x﹣1）=f（3﹣x）可知函數f（x）的對稱軸為x=1，
由f（x）的最大值為0，可假設f（x）=a（x﹣1）2 ． （a＜0）
令a（x﹣1）2=﹣2，x=1，則易知2=4，a=﹣．
所以，f（x）=﹣（x﹣1）2 ．
（Ⅱ）由f（x+t）≥2x可得，-（x﹣1+t）2≥2x，即x2+2（t+1）x+（t﹣1）2≤0，
解得﹣t﹣1-2≤x，
又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]時恒成立，
可得由（2）得0≤t≤4．
令g（t）=﹣t﹣1﹣2，易知g（t）=﹣t﹣1﹣2單調遞減，
所以，g（t）≥g（4）=﹣9，
由于只需存在實數，故n≥﹣9，則n能取到的最小實數為﹣9．
此時，存在實數t=4，只要當x∈[n，﹣1]時，就有f（x+t）≥2x成立．
【解析】（Ⅰ）根據題意可假設f（x）=a（x﹣1）2 ． （a＜0），令a（x﹣1）2=﹣2，x=1 ， 求解即可得出解析式．
（Ⅱ）利用不等式解得﹣t﹣1-2≤x ， 又f（x+t）≥2x在x∈[n，﹣1]時恒成立，轉化為令g（t）=﹣t﹣1﹣2 ， 易知g（t）=﹣t﹣1﹣2單調遞減，
所以，g（t）≥g（4）=﹣9，得出n能取到的最小實數為﹣9．