Question

【題目】在各項均為正數的等比數列中，，且，，成等差數列.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若數列滿足，為數列的前項和. 設，當最大時，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根據等比數列的通項公式，結合等差中項的定義列式，得2q4=2 q2+3×q3，解之得q=2（舍負），由此算出a1的值，即可得到數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）根據對數的運算法則，結合an=2n﹣2算出bn=2n，從而得到{bn}構成等差數列，得出{bn}的前n項和Sn=n2-n，由此化簡cn得cn=．利用與0的大小，得到n≤5時c6＞c5＞…＞c1，當n=6時，c6=c7；當n≥7時，c7＞c8＞…＞cn，由此即可得到當cn最大時，求n的值為6或7．

（Ⅰ）設等比數列的公比為，則

由 得，

依題意，

∴即

解得或（舍）

所以的通項公式為

（Ⅱ）

∵

∴成等差數列

∴

（法一）

∵

當時，即

當時，即

當時，即

∴

∴ 當最大時，或

（法二）由得

解得

∴ 當最大時，或