Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=anlog2an ， 數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ， 求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項a1，公比為q，q＞0，

依題意可得：2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，

解得：a3=8，a2+a4=20，

∴ ，

解得： 或 ，

∵數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，

∴a1=2，q=2，

∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n

（2）解：∵bn=anlog2an=n2n，

∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n2n，①

2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，②

①﹣②，得﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1，

= ﹣n2n+1，

=2n+1﹣n2n+1﹣2，

=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Sn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由2（a3+2）=a2+a4 ， 代入a2+a3+a4=28，求得a3=8，a2+a4=20，根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即可求a1=2，q=2，求得數(shù)列{an}的通項公式；（2）由bn=anlog2an=n2n ， 采用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ．
【考點精析】利用數(shù)列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系．