Question

【題目】輪船從某港口將一些物品送到正航行的輪船上，在輪船出發時，輪船位于港口北偏西且與相距20海里的處，并正以30海里的航速沿正東方向勻速行駛，假設輪船沿直線方向以海里/小時的航速勻速行駛，經過小時與輪船相遇.

（1）若使相遇時輪船航距最短，則輪船的航行速度大小應為多少？

（2）假設輪船的最高航速只能達到30海里/小時，則輪船以多大速度及什么航行方向才能在最短時間與輪船相遇，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）輪船以海里/小時的速度航行，相遇時輪船航距最短；（2）航向為北偏東，航速為30海里/小時，輪船能在最短時間與輪船相遇.

【解析】試題分析：（1）設兩輪船在處相遇，在 中，利用余弦定理得出關于t的函數，從而得出的最小值及其對應的，得出速度；
（2）利用余弦定理計算航行時間，得出 距離，從而得出 的度數，得出航行方案．

試題解析：（1）設相遇時輪船航行的距離為海里，則

.

∴當時， ， ，

即輪船以海里/小時的速度航行，相遇時輪船航距最短.

（2）設輪船與輪船在處相遇，則 ，

即.

∵，

∴，即，解得，又時，

∴時， 最小且為，此時中，

∴航向為北偏東，航速為30海里/小時，

輪船能在最短時間與輪船相遇.