Question

已知函數f（x）=e^x-x（e為自然對數的底數）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設n∈N^*，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

1

1-e-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導，令f'（x）＞0，f′（x）＜0，得f（x）的單調區間，進而得當x=0時，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）把f（x）解析式代入不等式，先驗證x=0時，不等式顯然成立，只需考慮x∈（0，2]的情況，分離參數a，寫在左邊，設右邊的為函數g（x），求導，得出g（x）的單調性，進而得當x=1時，g（x）取得最小值e-1，得實數a的取值范圍；
（Ⅲ）由等比數列{e^-（n-1）}的前n項和公式求出前n項和，小于

1

1-e-1

，只需求題干中不等式的左邊小于等比數列{e^-（n-1）}的前n項和，轉化為項與項的大小關系，兩邊開n次方根得（*），因（Ⅰ）中f（x）的最小值1，所以e^x-x≥1，即1+x≤e^x，（*）式取正整數時符合1+x＜e^x，故得證．

解答：解：（Ⅰ）解：f（x）的導數f′（x）=e^x-1．令f'（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
從而f（x）在（-∞，0）內單調遞減，在（0，+∞）內單調遞增．
所以，當x=0時，f（x）取得最小值1（3分）
（Ⅱ）解：因為不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以對于任意x∈[0，2]，
不等式f（x）＞ax恒成立（4分）由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
當x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況（5分）
將（a+1）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1，令g (x)=

ex

x

-1，則g（x）的導數g′ (x)=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．從而g（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，2）內單調增．
所以，當x=1時，g（x）取得最小值e-1，
從而實數a的取值范圍是（-∞，e-1）（8分）
（Ⅲ）證明：因e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

只需證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-1+1．（10分）
即(

n-i

n

)n＜e-i（i=1，2，…，n-1）．即(1-

i

n

) ＜(e-

i

n

) （i=1，2，…，n-1），（*）
由（Ⅰ）得，對于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
當x=-

i

n

時（*）式成立．故原不等式成立（12分）

點評：會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．證明不等式時用到放縮法，此法運用靈活，涉及知識點多，訓練邏輯推理，抽象概括能力，綜合運用能力．屬難題．