Question

【題目】一次函數f（x）是R上的增函數，已知f[f（x）]=16x+5，g（x）=f（x）（x+m）．
（1）求f（x）；
（2）若g（x）在（1，+∞）單調遞增，求實數m的取值范圍；
（3）當x∈[﹣1，3]時，g（x）有最大值13，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的增函數，

∴設f（x）=ax+b，a＞0，

f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，

∴a2=16，ab+b=5，

解得a=4，b=1或a=﹣4，b=﹣ （不合題意舍去），

∴f（x）=4x+1

（2）解：g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，

對稱軸為x=﹣ ，

由題意可得﹣ ≤1，解得m≥﹣

（3）解：由于g（x）為開口向上的拋物線，

可得g（x）的最大值為端點處的函數值．

當g（﹣1）取得最大值時，即﹣3（m﹣1）=13，解得m=﹣ ；

當g（3）取得最大值時，即13（m+3）=13，解得m=﹣2．

當m=﹣2時，對稱軸為x=﹣ = ，g（﹣1）=9＜g（3）=13；

當m=﹣ 時，對稱軸為x=﹣ = ，g（﹣1）=13＞g（3）=﹣13．

綜上可得，m=﹣2或﹣

【解析】（1）設f（x）=ax+b，a＞0，代入條件，由恒等式的性質可得方程，解方程可得f（x）的解析式；（2）求得g（x）的解析式和對稱軸方程，再由單調性可得﹣ ≤1，解不等式即可得到所求范圍；（3）根據拋物線的開口向上，可得最大值在端點處取得，解方程可得m的值，注意檢驗即可得到．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對函數的最值及其幾何意義的理解，了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．