Question

已知函數f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函數的定義域；
（Ⅱ）判斷函數的奇偶性；
（Ⅲ）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）是增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用對數函數的性質確定定義域．（Ⅱ）根據函數奇偶性的定義判斷．（Ⅲ）根據函數單調性的定義證明函數的單調性．

解答：解：（Ⅰ）要使f（x）有意義，即

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以f（x）的定義域為（-1，1）…（4分）
（Ⅱ）因為f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
又f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數．    …（8分）
（Ⅲ）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

，
因為-1＜x₁＜x₂＜1，
所以0＜（1+x₁）（1-x₂）=1+x₁-x₂-x₁x₂＜1+x₂-x₁-x₁x₂=（1-x₁）（1+x₂），
即0＜

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜1．所以log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

＜0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）是增函數    …（14分）

點評：本題主要考查了對數函數的性質，要求熟練掌握對數的運算法則和對數函數的性質．