Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）設的極小值為，當時，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調遞增區間為和，無單調遞減區間；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）對求導可得，設，對求導，判斷的符號，進而可得的單調性；（Ⅱ）對進行求導，可得的極小值，對求導，易證，在將等價轉化為，令，對其求導求其最值即可.

（Ⅰ）因為（且），所以.

設，則.

當時，，是增函數，，所以.

故在上為增函數；

當時，，是減函數，，所以，所以在上為增函數.

故的單調遞增區間為和，無單調遞減區間.

（Ⅱ）由已知可得，則.令，得，.

當時，，為減函數；

當時，，為增函數，

所以的極小值.

由，得.

當時，，為增函數；

當時，，為減函數.

所以.

而 .

下證：時，.

.

令，則.

當時，，為減函數；

當時，，為增函數.

所以，即.

所以，即.所以.

綜上所述，要證的不等式成立.