Question

已知一非零向量數列{a_n}滿足a₁=（1，1）an=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2且n∈N^*）．給出以下結論：
①數列{|a_n|}是等差數列，②|a1|•|a5|=

1

2

；③設c_n=2log₂|a_n|，則數列{c_n}的前n項和為T_n，當且僅當n=2時，T_n取得最大值；④記向量a_n與a_n-1的夾角為θ_n（n≥2），均有θn=

π

4

．其中所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：利用等差數列的定義、等比數列的定義、向量的模、向量的夾角及數列的前n項和等知識對每個結論逐一判斷可得答案．

解答：解：∵|a_n|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|an-1|，
∴{|a_n|}是首項為|a₁|=

2

，公比為q=

2

2

的等比數列，
∴①不正確．
又∵{|a_n|}是首項為|a₁|=

2

，公比為q=

2

2

的等比數列，
∴|a₁|•|a₅|=|a1|2• q4=(

2

)2•(

2

2

)4=

1

2

，
∴②正確．
又∵{|a_n|}是首項為|a₁|=

2

，公比為q=

2

2

的等比數列，
∴an=2•(

2

2

)n，
∴a1=

2

，a2=1，當n≥3時，an＜1，
∴c₁=1，c₂=0，當n≥3時，c_n＜0，
∴當n=1或2時，T_n取得最大值為1，
∴③不正確．
由已知得：a_n-1•a_n=（x_n-1，y_n-1）•

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）=

1

2

（x_n-1²+y_n-1²）=

1

2

|a_n-1|²，
又∵cos＜a_n-1，a_n＞=

an-1•an

|an-1|•|an|

，
將|a_n|=

2

2

|a_n-1|，a_n-1•a_n=

1

2

|a_n-1|²代入上式可得：
cos＜a_n-1，a_n＞=

2

2

，
∴a_n-1與a_n的夾角為θn=

π

4

，
∴④正確．
故答案為②④．

點評：本題以向量為載體，考查等差數列、等比數列及數列前n項和等知識，這是高考考查的重點，在學習中要重點關注．