Question

（2012•資陽一模）已知一非零向量數列{

a

_n}滿足

a

₁=（1，1）

a

n=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2且n∈N^*）．給出以下結論：
①數列{|

a

_n|}是等差數列；
②|

a

1|•|

a

5|=

1

2

；
③設c_n=2log₂|

a

_n|，則數列{c_n}的前n項和為T_n，當且僅當n=2時，T_n取得最大值；
④記向量

a

_n與

a

_n-1的夾角為θ_n（n≥2），均有θn=

π

4

．其中所有正確結論的序號是

②④

．

Answer 1

分析：利用等差數列的定義、等比數列的定義、向量的模、向量的夾角及數列的前n項和等知識對每個結論逐一判斷可得答案．

解答：解：∵|

a

_n|=

x 2 n + y 2 n

，
∴|

a

_n+1|=

x 2 n+1 + y 2 n+1

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

1 2 ( x 2 n + y 2 n )

，
∴

| a  n+1 |

| a  n|

=

2

2

；（常數），
∴{|

a

_n|}是等比數列，其中|

a

 1|=

2

，公比q=

2

2

，
即①不正確．
又∵{|

a

_n|}是首項為|

a

 1|=

2

，公比為q=

2

2

的等比數列，
∴|

a

 1|•|

a

₅|=|

a

 1|²•q⁴=(

2

)2•(

2

2

)4=

1

2

，
∴②正確．
又∵{|

a

_n|}是首項為|

a

₁|=

2

，公比為q=

2

2

的等比數列，
∴

a

 n=2×(

2

2

)n，
∴

a

₁=

2

，

a

₂=1，n≥3，

a

_n＜1，
∴c₁=1，c₂=0，當n≥3時，c_n＜0，
∴當n=1或2時，T_n取得最大值為1，
∴③不正確．
由已知得：

a

_n-1•

a

_n=（x_n-1，y_n-1）•

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）=

1

2

（x_n-1²+y_n-1²）=

1

2

|

a

_n-1|²，
又∵cos＜

a

_n-1，

a

_n＞=

a  n-1 • a  n

| a  n-1|•| a  n|

，
將|

a

_n|=

2

2

|

a

_n-1|，

a

_n-1•

a

_n=

1

2

|

a

_n-1|²代入上式可得：
cos＜

a

_n-1，

a

_n＞=

2

2

，
∴

a

_n與

a

_n-1的夾角為θn=

π

4

，
∴④正確．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查知識間的轉化與應用，涉及到數列的判斷與證明，通項公式及前n項和公式的靈活運用．這是高考考查的重點，在學習中要重點關注．