Question

（2013•永州一模）永州市舉辦科技創新大賽，某縣有20件科技創新作品參賽，大賽組委會對這20件作品分別從“創新性”和“實用性”兩個方面進行評分，每個方面評分均按等級采用3分制（最低1分，最高3分），若設“創新性”得分為x，“實用性”得分為y，得到統計結果如下表，若從這20件產品中隨機抽取1件．

x 作品數 y		創  新  性
		1分	2分	3分
實 用 性	1分	2	0	2
	2分	1	4	1
	3分	2	2	6

（1）求事件A：“x≥2且y≤2”的概率；
（2）設ξ為抽中作品的兩項得分之和，求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）確定事件A：“x≥2且y≤2”的作品數量，即可求得概率；
（2）方法一：分別求出“創新性”、“實用性”得分的分布列與期望，即可求得ξ的數學期望；
方法二：確定作品的總得分ξ的可能取值，求出其分布列，即可求得ξ的數學期望．

解答：解：（1）從表中可以看出，事件A：“x≥2且y≤2”的作品數量為7件，
故“x≥2且y≤2”的概率為

7

20

=0.35．                      …（5分）
（2）方法一：由表可知“創新性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三個等級，每個等級分別有5件，6件，9件，“創新性”得分x的分布列為：

x	1	2	3
p	1 4	3 10	9 20

則“創新性”得分的數學期望為Ex=1×

1

4

+2×

3

10

+3×

9

20

=

11

5

=2.2；                         …（8分）
“實用性”得分y有（1分）、（2分）、（3分）三個等級，每個等級分別有4件，6件，10件，
“實用性”得分y的分布列為：

y	1	2	3
p	1 5	3 10	1 2

故“實用性”得分的數學期望為Ey=1×

1

5

+2×

3

10

+3×

1

2

=

23

10

=2.3…（10分）
所以ξ數學期望Eξ=E（x+y）=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5　　　　　　　  …（12分）
方法二：作品的總得分ξ的可能取值為（2分），（3分），（4分），（5分），（6分），
由表中可知對應的作品數量分別為2件，1件，8件，3件，6件，…（8分）
則作品的總得分ξ的分布列為：…（10分）

ξ	2	3	4	5	6
P	1 10	1 20	2 5	3 20	3 10

所以ξ數學期望為Eξ=2×

1

10

+3×

1

20

+4×

2

5

+5×

3

20

+6×

3

10

=

9

2

=4.5…（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．