Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，，，，平面.

（Ⅰ）設為線段的中點，求證：//平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）思路一：先證明直線所在平面與平面平行，再根據面面平行的定義說明直線與平面平行.取中點，連接，易證平面與平面平行，從而問題得證；思路二：利用線面平行的判定定理來證明，取中點，連接，易證四邊形為平行四邊形，則∥，從而問題可得證.（Ⅱ）根據題意，利用“坐標法”來解決，建立適當的空間直角坐標系，通過向量數量積的坐標運算，從而可得解.

試題解析：（Ⅰ）證明：設線段的中點為，連接，. 在△中，為中位線，故.

又平面，平面，所以平面.

在底面直角梯形中，，且，故四邊形為平行四邊形，

即.又平面，平面，所以平面.

又因為平面，平面，且，所以平面平面.又平面，

所以有平面.

（Ⅱ）如圖所示，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.

設，則，，，.

，，，，

設是平面的法向量，則，即，

可取，同理，設是平面的法向量，則，可取，

從而.