Question

（本小題滿分12分）  已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足

點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，

點T在線段F₂Q上，并且滿足  

（Ⅰ）設為點P的橫坐標，證明；

   （Ⅱ）求點T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，

使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）略（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標準方程和有關性質，軌跡的求法和應用，以及綜合運用數學知識解決問題的能力.滿分14分.

（Ⅰ）證法一：設點P的坐標為

由P在橢圓上，得

由，所以 ……3分

證法二：設點P的坐標為記

則

由

證法三：設點P的坐標為橢圓的左準線方程為

      由橢圓第二定義得，即

       由，所以…3分

（Ⅱ）解法一：設點T的坐標為          當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.當|時，由，得.

又，所以T為線段F₂Q的中點.

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點T的軌跡C的方程是……7分

解法二：設點T的坐標為 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.

       當|時，由，得.

       又，所以T為線段F₂Q的中點. 設點Q的坐標為（），則

       因此    ①由得    ②

       將①代入②，可得綜上所述，點T的軌跡C的方程是7分

③ ④

   （Ⅲ）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是

        

       由③得，由④得  所以，當時，存在點M，使S=；

       當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分

       當時，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是

③ ④

        

       由④得  上式代入③得

       于是，當時，存在點M，使S=；

       當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分

       當時，記，

       由知，所以…………14分