Question

如圖，已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點為P，離心率e=

6

3

，長軸長為4

3

；點M為拋物線y²=6x上一動點，過M作拋物線的切線l與橢圓相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）若∠APB為鈍角，試求直線AB的斜率范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率e=

6

3

，長軸長為4

3

，求出幾何量，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，分別代入橢圓、拋物線方程，利用韋達定理，及∠APB為鈍角，即可求直線AB的斜率范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，橢圓的離心率e=

6

3

，長軸長為4

3

，
∴a=2

3

，c=2

2

∴b=

a2-c2

=2
∴橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1…（5分）
（Ⅱ）若直線斜率不存在，顯然不合題意；
若斜率存在，則可設直線l：y=kx+t代入

x2

12

+

y2

4

=1化簡得：（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6kt

3k2+1

，x1x2=

3t2-12

3k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2…（8分）
△=36k²t²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0得：12k²-t²+4＞0…（1）…（9分）
y=kx+t代入y²=6x得：k²x²+（2kt-6）x+t²=0
△=4k²t²-24kt+36-4k²t²=0，∴t=

3

2k

…（2）…（10分）
∵∠APB為鈍角，∴

PA

•

PB

＜0
∴(x1，y1-2)•(x2，y2-2)=x1x2+k2x1x2+(kt-2k)(x1+x2)+t2-4t+4＜0
化簡得：t²-t-2＜0解得：-1＜t＜2…（3）…（13分）
由（1）（2）得k2＞

31 -2

12

，∴k＜-

31 -2 12

或k＞

31 -2 12

由（2）（3）得  k=

3

2t

（-1＜t＜2）得：k＜-

3

2

或k＞

3

4

∴k＜-

3

2

或k＞

3

4

…（15分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．