Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取，的中點，，連接，，，利用等邊三角形和等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理，結合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）解法一：利用線面垂直的判定定理、平行線的性質，結合三棱錐體積公式進行求解即可；

解法二：建立空間直角坐標系，利用兩點間距離公式結合已知求出點的坐標，最后利用空間向量夾角公式進行求解即可.

解：（1）如圖，取，的中點，，連接，，，

因為，，

所以，，，

又，

所以，，

又因為，所以，

所以，即，

平面，

所以平面，而平面，

所以平面平面；

（2）解法一：設到平面的距離為，

因為，，

所以，

由（1），，又，所以，

平面，

所以平面，因為，所以點到平面的距離為，

所以，

所以，

故直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：建系法

如圖，建立空間坐標系，則，，，，

設，由，得

即，設平面的法向量為，

因為，，

所以，令，可得，

于是.