Question

【題目】設函數, 函數 .

（1）求函數的單調區間和最小值；

（2）討論 與 的大小關系；

（3）求的取值范圍，使得 對任意的都成立.

Answer 1

【答案】（1）減區間是，增區間是，；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）由f（1）=0，且f′（x）=可得f（x）=lnx，從而化簡g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+，從而求導確定函數的單調性及最小值；

（2）通過函數的導數，利用函數的單調性，半比較兩個函數的大小關系即可．

（3）利用（1）的結論，轉化不等式，求解即可．

詳解：（Ⅰ）由題設知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，

∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，

當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調減區間．

當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調遞增區間，

因此，x=1是g（x）的唯一值點，且為極小值點，

從而是最小值點，所以最小值為g（1）=1．

（II）

設，則h'（x）=﹣，

當x=1時，h（1）=0，即，

當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h′（1）＜0，

因此，h（x）在（0，+∞）內單調遞減，

當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，即，

當x＞1時，h（x）＜h（1）=0，即．

（III）由（I）知g（x）的最小值為1，

所以，g（a）﹣g（x）＜，對任意x＞0，成立g（a）﹣1＜，

即Ina＜1，從而得0＜a＜e．