Question

【題目】已知f．

（1）如果函數的單調遞減區間為，求函數的解析式；

（2）在（1）的條件下，求函數的圖象在點處的切線方程；

（3）若不等式恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)g（x）=x3﹣x2﹣x+2；(2)4x﹣y+5=0；(3)[﹣2，+∞）.

【解析】試題分析：（1）由函數遞減區間為，所以的解集為，可解和。

（2）由導數可求得函數在點處的切線方程。（3）用分離參數法求解恒成立下參數范圍問題。

試題解析：(1)g′(x)＝，由題意得<0的解集是，

即＝0的兩根分別是－，1.

將x＝1或x＝－代入方程＝0，得a＝－1.

∴g(x)＝

(2)由(1)知， ， ∴g′(－1)＝4.

∴點P(－1,1)處的切線斜率k＝g′(－1)＝4，

∴函數y＝g(x)的圖象在點P(－1,1)處的切線方程為y－1＝4(x＋1)，

即4x－y＋5 ＝0.

(3)∵f(x)的定義域為(0，＋∞)，∴2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，

即 在x∈(0，＋∞)上恒成立．

可得a －－在x∈(0，＋∞)上恒成立．

令h(x)＝－－，

則＝- +＝-.

, 得

，

.

.