Question

【題目】已知函數f(x)=lnx - .

(1)求函數f(x)的單調遞增區間;

(2)證明:當x>1時,f(x)<x-1;

(3)確定實數k的所有可能取值,使得存在x0>1,當x∈(1,x0)時,恒有f(x)>k(x-1).

Answer 1

【答案】(1) (0, ) (2)見解析(3) (-∞,1)

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（2）構造函數 ，利用導數研究函數的單調性，可得函數利用單調性的最大值為 ，從而可得結論；（3）根據（2）可得， 不合題意， 不合題意，當 時利用導數研究函數的單調性與極值，可得時，符合題意.

試題解析：(1)解:f′(x)= -x+1=,x∈(0,+∞),

由f′(x)>0,得

解得0<x<.

故f(x)的單調遞增區間是(0, ).

(2)證明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞),

則F′(x)= .

當x∈(1,+∞)時,F′(x)<0,

所以F(x)在[1,+∞)上單調遞減,

故當x>1時,F(x)<F(1)=0,即當x>1時,f(x)<x-1.

(3)解:由(2)知,當k=1時,不存在x0>1滿足題意.

當k>1時,對于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),

則f(x)<k(x-1),

從而不存在x0>1滿足題意.

當k<1時,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),

則G′(x)= -x+1-k=,

由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0,

解得x1=<0, x2=>1.

當x∈(1,x2)時,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)內單調遞增,從而當x∈(1,x2)時,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),

綜上,k的取值范圍是(-∞,1).