【題目】若函數
，
.
（Ⅰ）求
的單調區間和極值；
（Ⅱ）證明：若
存在零點，則
在區間
上僅有一個零點.
【答案】（Ⅰ）
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
；在
處取得極小值
；（Ⅱ）證明見解析．
【解析】
試題分析：（Ⅰ）求單調區間和極值，先求定義域，再求導數
，在
上，
的解為
，探討
在
和
上的正負，確定
的單調性，極值；（Ⅱ）首先由零點存在，知最小值
，從而
，因此
在
是單調遞減，且
，因此結論易證．
試題解析：（Ⅰ）由
，
得
.
由
解得
.與
在區間
上的情況如下：
所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；
在處取得極小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區間上的最小值為.
因為存在零點，所以
，從而.
當
時，在區間
上單調遞減，且
，
所以
是在區間
上的唯一零點.
當
時，在區間
上單調遞減，且
，
，
所以在區間上僅有一個零點.
綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
側棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．
底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是平行四邊形的四棱柱叫作平行六面體．
側棱與底面垂直的平行六面體叫作直平行六面體．
底面是矩形的直平行六面體叫作長方體．
棱長都相等的長方體叫作正方體．
請根據上述定義，回答下面的問題(填“一定”、“不一定”“一定不”)：
(1)直四棱柱________是長方體；
(2)正四棱柱________是正方體．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數據：
房屋面積x（m2） | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
銷售價格y（萬元） | 24．8 | 21．6 | 18．4 | 29．2 | 22 |
（1）畫出數據對應的散點圖；
（2）求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線．
（參考公式
=
，
=
+
，其中
=60 975,
=12 952）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，點
在橢圓上，
、
分別為橢圓的左右頂點，過點
作
軸交
的延長線于點
，
為橢圓的右焦點.
（Ⅰ）求橢圓的方程及直線
被橢圓截得的弦長
；
（Ⅱ）求證：以
為直徑的圓與直線
相切.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
均為直線，
為平面，下面關于直線與平面關系的命題：
①任意給定一條直線與一個平面
，則平面
內必存在與
垂直的直線；
②
內必存在與
相交的直線；
③
，必存在與
都垂直的直線；
其中正確命題的個數為（ ）
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】社區服務是綜合實踐活動課程的重要內容，某市教育部門在全市高中學生中隨機抽取200位學生參加社區服務的數據，按時間段
，
，
，
，
（單位：小時）進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求抽取的200位學生中，參加社區服務時間不少于90小時的學生人數，并估計從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區服務時間不少于90小時的概率；
（2）從全市高中學生（人數很多）中任意選取3位學生，記
為3位學生中參加社區服務時間不少于90小時的人數，試求隨機變量
的分布列和數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數
是奇函數，函數
的定義域為
．
（1）求
的值；
（2）若在上遞減，根據單調性的定義求實數
的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若函數
在區間
上有且僅有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．
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