Question

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點和短軸的一個端點構成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）因為橢圓Ｃ：的左、右焦點和短軸的一個端點構成邊長為４的正三角形，所以可得到兩個關于的等式，從而求得相應的值.
（2）因為過右焦點的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若，所以點A,B的縱坐標.所以通過假設直線方程聯立橢圓方程即可得到一個關于x（或y）的二次方程，在結合韋達定理即可求得k的值即可求得結論.
試題解析：(1)設橢圓C的方程為．
由題意得,所以橢圓C的方程為.        4分
（2）設直線的方程為，代入橢圓方程得(3＋4)y²＋12－36＝0.
設，焦點則根據，得(2－，－)＝2(－2，)，
由此得－＝2，
解方程得：,所以
代入－＝2，
得＝4，故＝，所以直線的方程為         12分
考點：1.橢圓的性質.2.直線與橢圓的位置關系.3.解方程的能力.4.向量的知識.