Question

【題目】如圖， ， 為中點，且平面， .已知.

（1）求直線與所成角；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由且平面，建立以為原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向的空間直角坐標系，再根據，得出與，從而可求出直線與所成角；（2）分別求出平面和平面的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）因為且平面，則以為原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵

∴， ， ， ， ， ，且， .

∴， .

∴和的夾角為.

（2）平面的法向量，設平面的法向量.

由， 且， ，

得，則，解得，

取，則.

∵二面角為銳二面角，記為

∴.

點晴：本題主要考查利用空間向量求二面角，利用空間向量求異面直線所成的角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角.