Question

已知R上的不間斷函數g（x）滿足：①當x＞0時，g'（x）＞0恒成立；②對任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函數f（x）滿足：對任意的x∈R，都有f(

3

+x)=-f(x)成立，當x∈[0，

3

]時，f（x）=x³-3x．若關于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）對x∈[-3，3]恒成立，則a的取值范圍

a≥1或a≤0．

．

Answer 1

分析：由函數g（x）滿足：①當x＞0時，g'（x）＞0恒成立；②對任意x∈R都有g（x）=g（-x），說明函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[-3，3]恒成立，只要使得|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，然后解此不等式即可．

解答：解：因為函數g（x）滿足：當x＞0時，g'（x）＞0恒成立，且對任意x∈R都有g（x）=g（-x），
∴函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g|（x|）=g（x），
∴g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|對x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，
只要使得定義域內|f（x）|max≤|a²-a+2|min，
由于當x∈[-3，3]時，f（x）=x³-3x，
求導得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
該函數過點（-3，0），（0，0），（ 3，0），且函數在x=-1處取得極大值f（-1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=-2，
又由于對任意的x∈R都有f（

3

+x）=-f（x），
∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，則函數f（x）為周期函數且周期為T=2

3

，
所以函數f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值為2，所以令2≤|a²-a+2|
解得：a≥1或a≤0．
故答案為：a≥1或a≤0．

點評：此題考查了利用導函數求得函數在定義域上為單調遞增函數，還考查了函數的周期的定義，及利用周期可以求得當x∈[-

3

，

3

]時，f（x）=x³-3x，的值域為[-2，2]，還考查了函數恒成立．