Question

已知函數f(x)=loga

x+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函數的定義域，并證明f(x)=loga

x+1

x-1

在定義域上是奇函數；
（Ⅱ）對于x∈[2，4]f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當n≥2，且n∈N^*時，試比較a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}與2ⁿ-2的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先求出定義域，利用對數的性質證明f（-x）=-f（x），故函數在定義域內是奇函數．
（Ⅱ） ①當a＞1時，有

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0對x∈[2，4]恒成立，即0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
在x∈[2，4]恒成立，利用導數求得（x+1）（x-1）（7-x）的最小值為15，得到 0＜m＜15．
②當0＜a＜1時，m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，利用導數求得 （x+1）（x-1）（7-x） 的最大值
為45，故m＞45．
（Ⅲ） n=2 時，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2． n=3 時，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2．當n≥4時，
a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＜2ⁿ-2．    n≥4時，由 2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

 得到證明．

解答：解：（Ⅰ）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=loga(

x+1

x-1

)-1=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
∴f(x)=loga

x+1

x-1

在定義域上是奇函數．
（Ⅱ）由x∈[2，4]時，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①當a＞1時，∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0對x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，設g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
則g（x）=-x³+7x²+x-7，g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

，
∴當x∈[2，4]時，g'（x）＞0，∴y=g（x）在區間[2，4]上是增函數，g（x）_min=g（2）=15，∴0＜m＜15．
②當0＜a＜1時，由x∈[2，4]時，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

對x∈[2，4]恒成立，∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
設g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在區間[2，4]上是增函數，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)+…+f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

+…+loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

×…×

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

，∴af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

當n=2時，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2，
當n=3時，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2，
當n≥4時，af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2，下面證明：當n≥4時，af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．
證明：當n≥4時，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

，
∴當n≥4時，af(2)+f(3)+…+f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，函數的恒成立問題，用放縮法證明不等式，用放縮法證明不等式是解題的
難點．